フェルマーの小定理

この出版物では、整数論の主な定理の XNUMX つを検討します。  フェルマーの小定理フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーにちなんで名付けられました。 また、提示された資料を統合するために、問題を解決する例を分析します。

定理のステートメント

1。 初期

If p 素数です a で割り切れない整数 pその後 a^P-1 - 1 で割った値 p.

正式には次のように書かれています。 a^P-1 ≡1 （に対して p).

注： 素数とは、１とそれ自身でしか割り切れず余りがない自然数です。

例：

• a = 2
• p = 5
• a^P-1 - 1 = 2^{5 – 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• 数 15 で割った値 5 残りなし。

2.代替

If p 素数です、 a 任意の整数、その​​後 a^p に匹敵します a モジュロ p.

a^p ≡a （に対して p)

証拠発見の歴史

ピエール ド フェルマーは 1640 年に定理を定式化しましたが、自分自身で証明しませんでした。 その後、これはドイツの哲学者、論理学者、数学者などであるゴットフリート ヴィルヘルム ライプニッツによって行われました。彼は 1683 年までに証明を行っていたと考えられていますが、公開されることはありませんでした。 ライプニッツ自身が定理を発見したことは注目に値するが、定式化されていたことを知らなかった。

この定理の最初の証明は 1736 年に発表され、スイス、ドイツの数学者、機械工のレオンハルト オイラーによるものです。フェルマーの小定理はオイラーの定理の特殊な場合です。

問題の例

数の余りを求める 2¹² on 12.

ソリューション

数を想像してみましょう 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 は素数なので、フェルマーの小定理により次のようになります。

2¹¹ ≡2 （に対して 11).

したがって、 2⋅2¹¹ ≡4 （に対して 11).

だから数 2¹² で割った値 12 剰余は次の値に等しい 4.