関数の制限は何ですか

この出版物では、数学的分析の主要な概念の XNUMX つである関数の極限について考察します。その定義と、実際の例を含むさまざまなソリューションについて説明します。

関数の限界の決定

機能制限 – 引数が極限点に向かうとき、この関数の値が向かう値。

制限レコード:

• 制限はアイコンで示されます リム;
• その下に、関数の引数 (変数) がどのような値になる傾向があるかが追加されます。 普段はこれ x、ただし必ずしもそうではありません。たとえば、次のようになります。x→1インチ;
• 次に、関数自体が右側に追加されます。次に例を示します。

  

したがって、制限の最終的な記録は次のようになります (私たちの場合):

のように読みます 「x が XNUMX に近づくときの関数の極限」.

x→1 – これは、「x」が一貫して無限に XNUMX に近づく値をとることを意味しますが、それと一致することはありません (到達されません)。

決定限界

与えられた数で

上記の制限を解いてみましょう。 これを行うには、関数内の単位を置き換えるだけです ( x→1):

したがって、制限を解決するために、最初に与えられた数をその下の関数に単純に代入しようとします (x が特定の数になる傾向がある場合)。

無限に

この場合、関数の引数は無限に増加します。つまり、 "x"は 無限大 (∞) になる傾向があります。 例えば：

If x→∞ の場合、与えられた関数は負の無限大 (-∞) になる傾向があります。

• 3-1 = 2
• 3 - 10 = -7
• 3 - 100 = -97
• 3 ～ 1000 ～ 997 など

もう XNUMX つのより複雑な例

この制限を解決するには、値を増やすだけです x この場合の関数の「動作」を見てください。

• R舞台舞台S収録<XNUMXxXNUMX>R x = 1、 y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• R舞台舞台S収録<XNUMXxXNUMX>R x = 10、 y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• R舞台舞台S収録<XNUMXxXNUMX>R x = 100、 y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

したがって、 "x"は無限大傾向、関数 x² +3x –6 無期限に成長します。

不確実性あり (x は無限大になる傾向がある)

この場合、関数が分数であり、その分子と分母が多項式である極限について話しています。 その中で "x"は 無限大になる傾向があります。

例： 以下の制限を計算してみましょう。

ソリューション

分子と分母の両方の式は無限大になる傾向があります。 この場合、解決策は次のようになると想定できます。

ただし、すべてがそれほど単純ではありません。 制限を解決するには、次のことを行う必要があります。

1。 検索 x 分子の最大べき乗まで (この場合は XNUMX です)。

2. 同様に、 x 分母の最大べき乗 (これも XNUMX に等しい)。

3. 次に、分子と分母の両方を次のように割ります。 x 上級学位で。 私たちの場合、どちらの場合も - XNUMX 番目の場合ですが、それらが異なる場合は、最高度を取る必要があります。

4. 結果の結果では、すべての分数がゼロになる傾向があるため、答えは 1/2 です。

不確実性あり (x は特定の数になる傾向がある)

分子も分母も多項式ですが、 "x"は 無限ではなく、特定の数に傾向があります。

この場合、分母がゼロであるという事実に条件付きで目を閉じます。

例： 以下の関数の限界を見つけてみましょう。

ソリューション

1. まず、数値 1 を関数に代入しましょう。 "x"は. 考慮しているフォームの不確実性を取得します。

2. 次に、分子と分母を因数に分解します。 これを行うには、省略された乗算式を使用できます。適切な場合は、または.

この場合、分子の式の根 (2x² – 5x + 3 = 0) は数字の 1 と 1,5 です。 したがって、次のように表すことができます。 2(x-1)(x-1,5).

分母 (x–1) 最初は単純です。

3. このような修正された制限を取得します。

4. 分数は (x–1):

5.制限の下で得られた式に数字1を代入するだけです。