この出版物では、ユークリッド幾何学の主要な定理の XNUMX つであるスチュワートの定理について考察します。スチュワートの定理は、それを証明した英国の数学者 M. スチュワートにちなんで名付けられました。 また、提示された資料を統合するために問題を解決する例を詳細に分析します。
定理のステートメント
段三角 ABC. 彼のそばで AC 取ったポイント D、上部に接続されています B. 次の表記法を受け入れます。
- AB = a
- BC=b
- BD = p
- AD = x
- DC = および
この三角形では、等式は真です。
定理の応用
スチュワートの定理から、三角形の中線と二等分線を求める式を導き出すことができます。
1. 二等分線の長さ
しましょう lc 横に引いた二等分線です c、セグメントに分割されています x и y. 三角形の残りの XNUMX 辺を次のように取りましょう。 a и b… この場合：
2. 長さの中央値
しましょう mc 中央値は横に下がっていますか c. 三角形の残りの XNUMX 辺を次のように表しましょう。 a и b… それで：
問題の例
与えられた三角形 ABC。 側面上 9cmに等しいAC、 取ったポイント D、辺を次のように分割します。 AD XNUMX倍の長さ DC. 頂点を結ぶ線分の長さ B そしてポイント D、5cmです。 この場合、形成された三角形 米国 二等辺です。 三角形の残りの辺を見つける ABC.
ソリューション
問題の状況を図で表してみましょう。
AC = AD + DC = 9cm。 AD より長いです DC XNUMX回、すなわち AD = 2DC.
その結果、 2DC + DC = 3DC u9d ９センチ。 そう、 DC = 3cm、 AD = 6cm。
三角形だから 米国 – 二等辺と側面 AD は 6 cm ですので、それらは等しいです。 AB и BDIe AB = 5cm。
見つけることだけが残っています BC、スチュワートの定理から次の式を導出します。
既知の値をこの式に代入します。
このように、 BC = √52 ≒7,21cm。