タレスの定理: 定式化と問題解決の例

この出版物では、クラス 8 幾何学の主要な定理の XNUMX つである、ギリシャの数学者であり哲学者であるミレトスのタレスに敬意を表してそのような名前が付けられたタレスの定理について考察します。 また、提示された資料を統合するために、問題を解決する例を分析します。

定理のステートメント

XNUMX 本の直線の XNUMX つで等しいセグメントを測定し、それらの端を通る平行線を引いた場合、XNUMX 番目の直線を横切ると、XNUMX 番目の直線上で互いに等しいセグメントが切り取られます。

• A₁A₂ = A₂A₃ ...
• B₁B₂ =B₂B₃ ...

注： 割線の交差は関係ありません。つまり、定理は交差する線と平行な線の両方に当てはまります。 割線上のセグメントの位置も重要ではありません。

一般化された定式化

タレスの定理は特殊なケース 比例セグメント定理*: 平行線は割線で比例セグメントをカットします。

これに従って、上の図では、次の等式が成り立ちます。

* を含む等しいセグメントは、比例係数が XNUMX に等しいためです。

逆タレスの定理

1.交差割線の場合

線が他の XNUMX 本の線 (平行または非平行) と交差し、それらの線分を上から順に等分または比例セグメントで切り取ると、これらの線は平行になります。

逆定理から次のようになります。

必要条件： 等しいセグメントは上から開始する必要があります。

2. 平行割線の場合

両方のセカントのセグメントは互いに等しくなければなりません。 この場合にのみ、定理が適用されます。

• a || b
• A₁A₂ =B₁B₂ = A₂A₃ =B₂B₃ ...

問題の例

与えられたセグメント AB 表面に。 それを3等分します。

ソリューション

点から描く A 直接 a その上に XNUMX つの連続した等しいセグメントをマークします。 AC, CD и DE.

極値 E 直線上 a ドットでつなぐ B セグメント上。 その後、残りのポイントを通して C и D パラレル BE セグメントと交差する XNUMX 本の線を引く AB.

線分 AB 上でこのように形成された交点は、それを XNUMX つの等しい部分に分割します (タレスの定理によると)。