この出版物では、行列のランクの定義と、それを見つける方法について検討します。 また、例を分析して、実際の理論の適用を実証します。
行列のランクの決定
行列ランク 行または列のシステムのランクです。 どの行列にも、互いに等しい行と列のランクがあります。
ロウ系ランク 線形独立行の最大数です。 列システムのランクも同様の方法で決定されます。
注意：
- ゼロ行列のランク (記号「θ") はどのサイズでもゼロです。
- 非ゼロの行ベクトルまたは列ベクトルのランクは XNUMX に等しくなります。
- 任意のサイズの行列に XNUMX 以外の要素が少なくとも XNUMX つ含まれている場合、そのランクは XNUMX 未満ではありません。
- 行列のランクは、その最小次元より大きくありません。
- 行列に対して実行される基本変換は、そのランクを変更しません。
行列のランクを見つける
フリンジマイナー法
行列のランクは、非ゼロの最大次数に等しくなります。
アルゴリズムは次のとおりです。 最下位から最上位まで未成年者を検索します。 マイナーな場合 n番目の次数はゼロに等しくなく、後続のすべて (n + 1) は 0 に等しいため、行列のランクは n.
例
より明確にするために、実際の例を挙げて、行列のランクを見つけてみましょう A 以下、未成年者を縁取る方法を使用します。
ソリューション
4 × 4 の行列を扱っているため、そのランクを 4 より高くすることはできません。また、行列にはゼロ以外の要素があり、これはそのランクが XNUMX より小さくないことを意味します。 それでは始めましょう：
1. チェックを開始する 二等の未成年者. まず、XNUMX 列目と XNUMX 列目の XNUMX 行を取ります。
マイナーはゼロに等しい。
したがって、次のマイナーに進みます (最初の列が残り、XNUMX 番目の列の代わりに XNUMX 番目の列が使用されます)。
マイナーは 54≠0 なので、行列のランクは少なくとも XNUMX です。
注： このマイナーがゼロに等しいことが判明した場合は、次の組み合わせをさらにチェックします。
必要に応じて、文字列を使用して同じ方法で列挙を続けることができます。
- 1と3;
- 1と4;
- 2と3;
- 2と4;
- 3と4。
すべての二次マイナーがゼロに等しい場合、行列のランクは XNUMX になります。
2. 私たちは、私たちに合った未成年者をすぐに見つけることができました. それでは次に進みましょう 三次未成年者.
ゼロ以外の結果が得られた XNUMX 番目の順序で見つかったマイナーに、XNUMX つの行と緑色で強調表示された列の XNUMX つを追加します (XNUMX 番目の列から開始します)。
マイナーはゼロであることが判明しました。
したがって、3 列目を XNUMX 列目に変更します。 そして XNUMX 回目の試行で、ゼロに等しくないマイナーを見つけることができました。つまり、行列のランクが XNUMX 未満になることはありません。
注： 結果が再びゼロであることが判明した場合、XNUMX 番目の行ではなく、XNUMX 番目の行をさらに取得して、「良い」未成年者の検索を続けます。
3.決定することはまだ残っています 未成年者 以前に発見されたものに基づいています。 この場合、行列の行列式に一致するものです。
マイナーは 144≠0 です。 これは、行列のランクが A 4に等しい。
ステップ形式への行列の縮小
ステップ行列のランクは、ゼロでない行の数に等しくなります。 つまり、行列を適切な形式にするだけで済みます。たとえば、 を使用します。これは、前述のようにランクを変更しません。
例
行列のランクを求める B 下。 過度に複雑な例は取りません。なぜなら、私たちの主な目的は、実際にメソッドの適用を実証することだけだからです。
ソリューション
1. まず、XNUMX 番目の行から XNUMX 倍になったものを引きます。
2. XNUMX 行目から XNUMX 行目を引き、XNUMX 倍します。
したがって、ゼロ以外の行の数が 2 に等しいステップ行列を得たので、そのランクも XNUMX に等しくなります。