この出版物では、ガウス法とは何か、なぜそれが必要なのか、その原理は何かについて考察します。 また、実用的な例を使用して、この方法を適用して線形方程式系を解く方法を示します。
ガウス法の説明
ガウスの方法 を解くために使用される変数を順次消去する古典的な方法です。 ドイツの数学者カール・フリードリッヒ・ガウス (1777-1885) にちなんで名付けられました。
ただし、最初に、SLAU には次のことができることを思い出してください。
- XNUMX つの解決策があります。
- 無限の数のソリューションがあります。
- 互換性がありません。つまり、解決策がありません。
実用的なメリット
ガウス法は、XNUMX つ以上の線形方程式や非正方方程式を含む SLAE を解く優れた方法です。
ガウス法の原理
この方法には、次の手順が含まれます。
- ストレート – 連立方程式に対応する拡張行列は、行の上で上三角 (階段状) 形式に縮小されます。つまり、主対角線の下にはゼロに等しい要素のみが存在する必要があります。
- バック – 結果の行列では、主対角線より上の要素もゼロに設定されます (下三角図)。
SLAE ソリューションの例
以下の連立一次方程式をガウス法を使って解いてみましょう。
ソリューション
1. まず、SLAE を展開されたマトリックスの形で提示します。
2. ここでのタスクは、主対角線の下にあるすべての要素をリセットすることです。 以降のアクションは、特定のマトリックスによって異なります。以下に、このケースに適用されるものについて説明します。 まず、行を入れ替えて、最初の要素を昇順に配置します。
3. XNUMX 行目から最初の行の XNUMX 倍を引き、XNUMX 行目から最初の行の XNUMX 倍を引きます。
4. XNUMX 行目を XNUMX 行目に追加します。
5. 10 行目から XNUMX 行目を引き、同時に XNUMX 行目を -XNUMX で割ります。
6. 第 7 段階が完了しました。 ここで、主対角線の上に null 要素を取得する必要があります。 これを行うには、最初の行から 5 倍の XNUMX を減算し、XNUMX 番目の行に XNUMX 倍の XNUMX 倍を加算します。
7. 最終的に展開されたマトリックスは次のようになります。
8. 連立方程式に対応します。
回答： ルート SLAU: x = 2、 y = 3、 z = 1。