複素数の根の抽出

この出版物では、複素数の根を取る方法と、これが判別式がゼロより小さい二次方程式を解くのにどのように役立つかを見ていきます。

複素数の根の抽出

平方根

ご存知のように、負の実数の根を取ることは不可能です。 しかし、複素数になると、このアクションを実行できます。 それを理解しましょう。

数があるとしましょう z = -9。 のために √-9 XNUMX つのルートがあります。

z₁ =√-9 = -3i

z₁ =√-9 = 3i

方程式を解いて得られた結果を確認しましょう。 z² = -9、それを忘れないで i² = -1:

(-3i)² = （-3）² ⋅ 私² = 9 ⋅ (-1) = -9

（3i）² = 3² ⋅ 私² = 9 ⋅ (-1) = -9

したがって、我々はそれを証明した -3i и 3i ルーツです √-9.

負の数の根は、通常、次のように記述されます。

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i 等々

n 乗根

次の形式の方程式が与えられたとします。 z = ⁿ√w…それは持っています n ルーツ（z₀の₁の₂、…、z_n-1)、次の式を使用して計算できます。

| w | は複素数のモジュールです w;

φ – 彼の主張

k 次の値を取るパラメーターです。 k = {0、1、2、…、n-1}.

複素根を持つ二次方程式

負の数のルートを抽出すると、通常の uXNUMXbuXNUMXb の考えが変わります。 判別式 (D) がゼロより小さい場合、実根は存在できませんが、複素数として表すことはできます。

例

方程式を解いてみましょう x² – 8x + 20 = 0.

ソリューション

a = 1、b = -8、c = 20

D = b² – 4ac = 64 - 80 = -16

D < 0ですが、負の判別式のルートを求めることができます。

√D =√-16 = ±4i

これで根を計算できます。

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8±4i)/2 = 4±2i.

したがって、方程式 x² – 8x + 20 = 0 には XNUMX つの複素共役根があります。

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i