この出版物では、アフィン幾何学の古典的な定理の XNUMX つであるチェバの定理について考察します。チェバの定理は、イタリアのエンジニア、ジョヴァンニ チェバにちなんで名付けられました。 また、提示された資料を統合するために、問題を解決する例を分析します。
定理のステートメント
与えられた三角形 ABCで、各頂点が反対側の点に接続されています。
したがって、XNUMX つのセグメントを取得します (AA', BB' и CC') と呼ばれる セビア人.
これらのセグメントは、次の等式が成り立つ場合にのみ、XNUMX 点で交差します。
|と'| |いいえ'| |CB'| | = |紀元前'| |シフト'| |AB'|
定理は次の形式で表すこともできます (点が辺を分割する比率が決定されます)。
チェバの三角定理
注: すべてのコーナーは方向付けられています。
問題の例
与えられた三角形 ABC ドット付き に', B' и NS ' 側面に BC, AC и AB、 それぞれ。 三角形の頂点は指定された点に接続され、形成された線分は XNUMX つの点を通過します。 同時にポイントは に' и B' 対応する反対側の中点で取得されます。 ポイントがどの比率であるかを調べる NS ' 側面を分割します AB.
ソリューション
問題の条件に合わせて絵を描いてみましょう。 便宜上、次の表記法を採用します。
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Ceva の定理に従ってセグメントの比率を構成し、受け入れられている表記法をそれに代入するだけです。
分数を減らすと、次のようになります。
したがって、 AC'=C'B、つまりポイント NS ' 側面を分割します AB 半分に。
したがって、私たちの三角形では、セグメント AA', BB' и CC' は中央値です。 問題を解決した後、それらが XNUMX 点で交差することを証明しました (任意の三角形で有効)。
注： チェバの定理を使用して、三角形の一点で二等分線または高さも交差することを証明できます。